BAB
I
PENDAHULUAN
A. LATAR
BELAKANG
Upaya
para ilmuan untuk menyikap misteri alam semesta sampai sekarang ternyata belum
pernah mencapai kepastian mutlak dalam pemahaman perilaku alam seperti yang
diimpi-impikannya. Kepastianlah relatiflah yang biasanya dicapai, sehingga
kenyataan ini menyadarkan para ilmuan bahwa ilmu bukanlah segala-galanya dan
ilmu tidak statis sifatnya. Dalam hal ini, statistika mempunyai tugas untuk
memperhitungkan kemungkinan berulangnya kembali serangkaian peristiwa tertentu.
Dalam hal ini, jelas bahwa tugas statistika berkaitan dengan
peristiwa-peristiwa lampau, dan peluang terjadinya peristiwa-peristiwa di masa
depan sesuai asumsi atau keyakinan yang berlaku di waktu lampau
dan masa kini.
Kata
statistika berasal dari bahasa Latin status, yang berarti keadaan kelompok.
Makna statistika yang lebih mutakhir dimaksudkan sebagai cara-cara ilmiah untuk
mengumpulkan, mengorganisasikan, menyajikan, dan menganalisis data, serta
menarik kesimpulan sahih dan mengambil keputusan layak berdasarkan analisis
yang dilakukan.
Dalam
statistika dikenal istilah ukuran kemiringan dan kecembungan. Banyak mahasiswa
yang biasa bertanya: Untuk apa kita
menghitung koefisien kemiringan dan koefisien kecembungan? Pertanyaan ini
wajar saja muncul karena kebanyakan pelajaran statistika diberikan dalam bentuk
menurunkan rumus dan menghitung statistik tanpa dijelaskan kegunaan dan manfaat
yang dihitung itu.
Mengetahui
bentuk sebaran kemampuan siswa atau mahasiswa sebelum melalui proses belajar
sangat penting bagi seorang guru atau dosen. Bentuk sebaran itu sendiri dapat
diketahui dengan bantuan koefisien
kemiringan (skewness) dan koefisien
kecembungan (kurtosis) yang
perhitungannya sangat sederhana, yakni hanya dengan menggunakan kalkulator
untuk data yang tidak terlalu banyak. Namun dengan bantuan komputer akan
bermanfaat untuk menghindari kesalahan perhitungan dan mempercepat proses
perhitungan.
Koefisien
kemiringan dan kecembungan dapat digunakan dalam bidang-bidang lain selain
bidang pendidikan. Untuk hal serupa pula dalam bidang industri dan bisnis,
kedua koefisien itu dapat digunakan untuk melihat sebaran penjumlahan
barang-barang tertentu menurut waktu, lokasi, jenis barang, cara penyaluran,
dan sebagainya.
Selain
pemahaman terhadap rumus, syarat dan tujuan penggunaan ukuran statistik,
contoh-contoh nyata dalam kehidupan sehari-hari akan membantu pengembangan
pengguna statistika. Banyak penggunaan statistika dalam kehidupan sehari-hari,
mulai dari yang sangat sederhana sampai pada yang rumit dan kompleks.
Oleh
karena itu, dengan adanya makalah ini diharapkan para pembaca dapat memahami
dan mengerti tentang koefisien kemiringan
(skewness) dan koefisien
kecembungan (kurtosis).
B. RUMUSAN
MASALAH
Berdasarkan
latar belakang tersebut didapatkan masalah-masalah, yaitu :
1. Menjelaskan
bagaimana model populasi?
2. Menjelaskan
bagaimana koefisien kemiringan?
3. Menjelaskan
bagaimana koefisien kecembungan?
C. TUJUAN
Berdasarkan
rumusan masalah didapatkan tujuan, yaitu :
1. Mahasiswa
dapat menjelaskan bagaimana moldel populasi.
2. Mahasiswa
dapat menjelaskan bagaimana koefisien kemiringan.
3. Mahasiswa
dapat menjelaskan bagaimana koefisien kecembungan.
BAB
II
ISI
A. MODEL
POPULASI
Untuk
mendapatkan gambaran tentang sebaran data, tabel sebaran frekuensi, histogram,
atau poligon frekuensi merupakan alat bantu yang sering digunakan. Jika semua
data dalam populasi dapat dikumpulkan lalu digambarkan daftar sebaran
frekuensinya dan akhirnya digambarkan kurva frekuensi maka kurva ini dapat
menjelaskan sifat atau ciri dari populasi. Kurva ini merupakan model populasi
yang akan ikut menjelaskan ciri populasi atau sampel representatif yang diambil
dari populasi.
Untuk
keperluan teori dan metode yang lebih lanjut, model populasi dapat dituangkan
dalam bentuk persamaan matematis. Jadi, model dapat dinyatakan dalam berbagai
bentuk, tergantung aspek mana yang menjadi perhatian.
Bentuk
kurva yang dijadikan model populasi dan sering digunakan adalah ;
1. Model normal
yang sebenarnya lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematisnya.
Bentuk model normal selalu simetris dan mempunyai sebuah puncak (unimodal).
Kurva normal selalu simetris, tetapi tidak terlalu cembung atau terlalu
mendatar.
2. Model simetris
yang mempunyai satu puncak (unimodal). Pada model normal, kurva akan selalu
simetris, tetapi belum pasti jika suatu model simetris maka kurva normal.
Model
simetris ini dibedakan atas dua yaitu:
a. Model
simetris yang cembung
b. Model
simetris yang mendatar
3. Model positif
menggambarkan suatu kejadian yang memiliki sedikit gejala yang bernilai semakin
besar.
4. Model negatif
merupakan kebalikan dengan model
positif. Model negatif menggambarkan suatu kejadian yang menunjukkan bahwa
terdapat sedikit gejala yang bernilai semakin kecil.
5. Model J yang
banyak digunakan dalam bidang ekonomi, industri, dan fisika. Kurva model J ini
dapat dibedakan atas:
a. Kurva
model J yang menggambarkan data yang cenderung menanjak secara drastis.
b. Kurva
model J terbalik yang menggambarkan kebalikan dari model J, yaitu dari data
yang sangat tinggi, turun secara drastis, kemudian sedikit demi sedikit mulai
menanjak secara perlahan.
6. Bentuk U
yang menggambarkan terdapat banyak gejala bernilai kecil, kemudian menurun
sementara untuk gejala yang bernilai besar, dan akhirnya menaik lagi untuk
nilai yang semakin besar.
B. KOEFISIEN
KEMIRINGAN
Dalam
kasus kurva frekuensi populasi, baik yang model postif maupun model negatif
terjadi ketidaksimetrisan. Untuk mengetahui derajat ketidaksimetrisan sebuah
model populasi digunakan ukuran kemiringan.
Ada
dua macam kemiringan yang dapat digunakan yaitu ;
Ø Ukuran kemiringan
Pearson
Karl Pearson mengembangkan ukuran
kemiringan yang disebut ukuran kemiringan Pearson (Pearson’s measure of skewness). Ukuran ini memberitahukan arah dan
tingkat kemiringan sebaran data. Dalam ukuran kemiringan Pearson akan
melibatkan rerata, median, dan modus.
Rumus empiris dari Pearson adalah “Jarak antara rerata dan modus dalam sebaran
yang kemiringannya moderat adalah tiga kali jarak antara rerata dan median.”
Jadi, semakin jauh nilai rerata dari
modus, semakin tidak simetris atau semakin miring sebaran data. Jarak antara
rerata dan modus merupakan dasar untuk ukuran kemiringan yang digunakan oleh
Pearson.
Untuk mendapatkan koefisien kemiringan
Pearson, maka akan digunakan jarak antara rerata dan modus, serta simpangan
baku. Koefisien kemiringan Pearson tipe
kesatu atau dilambangkan dengan Kmp1 dihitung dengan rumus;
Dengan rumus empiris yang telah
dikemukakan Pearson bahwa:
Sehingga dari hubungan diatas diperoleh koefisien
kemiringan Pearson tipe kedua yang dilambangkan
dengan Kmp2 yang dapat dihitung dengan rumus;
Koefisien tipe kedua ini dapat digunakan
jika antara nilai rerata dan median tidak terlalu besar.
Koefisien kemiringan Pearson dalam kurva
simetris sempurna jika ukuran kemiringannya nol (Kmp = 0), yakni
rerata, median, dan modus berimpit.
Jika kurva sebaran miring ke kiri (ekor
panjang ke kanan) maka koefisien kemiringan positif karena nilai rerata akan
lebih besar daripada nilai median dan nilai median lebih besar daripada nilai
modus.
Jika kurva sebaran miring ke kanan (ekor
panjang ke kiri) maka koefisien kemiringan negatif karena nilai modus lebih
besar daripada nilai median dan nilai median lebih besar daripada nilai rerata.
Dasar pengukuran kemiringan Pearson
secara skematik akan ditunjukkan dalam kurva model populasi. Dalam kurva
terlihat bahwa untuk menaksir ukuran gejala pusat pada populasi yang tidak
simetris, median merupakan statistik yang lebih stabil dibandingkan dengan rerata.
Hal ini dikarenakan nilai ekstrem yang terdapat dalam data sangat mempengaruhi
nilai rerata, sedangkan nilai median tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.
Sebagai deskripsi dari sebaran data,
interpretasi koefisien kemiringan Pearson menyatakan sabaran agak miring (slight skewness), atau miring (moderate skewness), atau sangat miring (marked skewness). Nilai maksimun ukuran
kemiringan pearson adalah +3 dan minimum adalah –3.
Contoh
Misalnya, nilai ujian Statistika Dasar
dari 100 mahasiswa dapat diketahui nilai rerata 80, median 83, modus 85, dan
simpangan baku 12,5. Tentukan koefisien kemiringan Pearson tipe kesatu dan
kedua, serta penjelasannya!
Penyelesaian
:
Diberikan
Maka :
Karena koefisien kemiringan Pearson
bernilai negatif maka dapat ditentukan jika model populasi agak miring ke
kanan. Hal ini berarti ujian Statistika Dasar tidak terlalu sulit karena nilai
reratanya cukup tinggi yaitu 80.
Dapat juga menggunakan koefisien
kemiringan Pearson tipe kedua karena perbedaan nilai rerata (80) dan median
(83) tidak terlalu besar, yaitu:
Hasil dari koefisien kemiringan Pearson
tipe kedua juga memberikan hasil negatif yang berarti kemiringannya juga
negatif.
Ø Ukuran
kemiringan Bowley
Ukuran kemiringan dapat juga dinyatakan
dalam bentuk kuartil. Dalam sebaran simetris, K1 dan K3
mempunyai jarak yang sama dari median.
Jika K1 lebih jauh dari
median dibandingkan dengan K3, maka kemiringan yang akan diperoleh
adalah kemiringan negatif. Dan sebaliknya jika K1 lebih dekat dari
median dibandingkan dengan K3 maka kemiringan yang akan diperoleh
adalah kemiringan positif.
Karena dalam model simetris tidak ada
perbedaan jarak antara K1 dan K3 dari median, inilah yang
menjadi dasar pengukuran dalam mengukur kemiringan dalam model yang tidak
simetris.
Ukuran kemiringan Bowley menggunakan
rentang antarkuartil sebagai pembagi rumus, untuk koefisien kemiringan Bowley
(Kmb) yang dapat dirumuskan:
Ukuran kemiringan Bowley mempunyai nilai
maksimum +1 dan minimum –1. Ukuran kemiringan Bowley dapat digunakan apabila
yang menjadi perhatian adalah ukuran lokasi. Jadi, metode ini bermanfaat pada
sebaran data berujung terbuka (open-end)
atau bila ada nilai-nilai ekstrem dalam data.
Contoh
:
Upah rerata per jam dari 94 pegawai pada salah satu
perusahaan pabrik, diketahui memiliki K1 = Rp 5.700,00 dan K3
= Rp 7.300,00, serta median Rp 6.450,00. Tentukan ukuran kemiringan Bowley dan
tentukan bagaimana bentuk grafiknya?
Penyelesaian:
Karena nilai Kmb adalah 0,0625 dan
grafiknya adalah model normal yang dapat digambarkan seperti di bawah ini.
|
K1
|
|
Me
|
|
K3
|
C. KOEFISIEN
KECEMBUNGAN
Dengan
titik tolak dari kurva model normal atau sebaran normal, kecembungan, yakni
tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva dapat ditentukan. Kurva
sebaran normal yang tidak terlalu runcing (tidak terlalu mendatar) disebut mesokurtik, sedangkan kurva yang
runcing disebut leptokurtik, dan
kurva yang datar disebut platikurtik.
Salah
satu ukuran kecembungan kurva adalah koefisien kecembungan (kurtosis) yang
dilambangkan dengan Kc dapat dirumuskan:
Bilamana
datanya dalam bentuk sebaran tunggal xi , i=1, 2, …, n. Jika data
dalam bentuk sebaran frekuensi, Kc, dapat dihitung dengan rumus:
Nilai
Kc = 3 menunjukkan sebaran mesokurtik (normal), nilai Kc > 3 mengindikasikan
sebaran leptokurtik (cembung), dan sebaran platikurtik (mendatar) yang ditandai
dengan Kc < 3.
Contoh :
Hitung koefisien kecembungan data dalam bentuk
sebaran frekuensi tentang upah per jam 94 pegawai seperti dalam tabel.
|
Kelas
|
fi
|
xi
|
fi (xi-
|
fi (xi-
|
|
5,0-5,9
|
32
|
5,45
|
38,72
|
46,8512
|
|
6,0-6,9
|
30
|
6,45
|
0,30
|
0,0030
|
|
7,0-7,9
|
25
|
7,45
|
20,25
|
16,4025
|
|
8,0-8,9
|
5
|
8,45
|
18,05
|
65,1605
|
|
9,0-9,9
|
2
|
9,45
|
16,82
|
141,4562
|
|
Jumlah
|
94
|
-
|
94,14
|
269,8734
|
Penyelesaian:
Karena
koefisien kecembungan, Kc < 3, maka kurvanya agak mendatar
(platikurtik). Tetapi karena nilai Kc hampir mendekati nilai 3, maka
pendekatan normal dapat digunakan.
Selain dengan koefisien kemiringan
kecembungan Kc, penggunaan kuartil dan persentil dapat juga
dilakukan dalam merumuskan koefisien kecembungan persentil yang dapat
dilambangkan dengan KKP yang dapat dirumuskan:
Dengan menggunakan rumus KKP ini
dapat dilihat bahwa nilai pembilangnya ditentukan oleh 50% data yang berada di
tengah dan nilai penyebutnya ditentukan oleh 80% data di tengah. Jadi, pengaruh
nilai-nilai ekstrem ditiadakan dengan menggunakan rumus ini.
Untuk menentukan model populasi,
berbeda halnya dengan koefisien kecembungan persentil, KKP untuk kurva normal
adalah 0,263.
BAB
III
SIMPULAN
A. MODEL
POPULASI
Kurva
ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri populasi atau
sampel representatif yang diambil dari populasi. Bentuk kurva yang dijadikan
model populasi dan sering digunakan adalah ;
1. Model normal
2. Model simetris
a. Model
simetris yang cembung
b. Model
simetris yang mendatar
3. Model positif
4. Model negatif
5. Model J yang
banyak digunakan dalam bidang ekonomi, industri, dan fisika. Kurva model J ini
dapat dibedakan atas:
a. Kurva
model J
b. Kurva
model J terbalik
6. Bentuk U
B. UKURAN
KEMIRINGAN
Dalam
kasus kurva frekuensi populasi, baik yang model postif maupun model negatif
terjadi ketidaksimetrisan. Untuk mengetahui derajat ketidaksimetrisan sebuah
model populasi digunakan ukuran kemiringan.
Ada
dua macam kemiringan yang dapat digunakan yaitu ;
Ø Ukuran kemiringan
Pearson
Dalam
ukuran kemiringan Pearson akan melibatkan rerata, median, dan modus. Rumus
empiris dari Pearson adalah “Jarak antara
rerata dan modus dalam sebaran yang kemiringannya moderat adalah tiga kali
jarak antara rerata dan median.”
Koefisien kemiringan Pearson tipe kesatu atau
dilambangkan dengan Kmp1 dihitung dengan rumus;
Sedangkan,
koefisien kemiringan Pearson tipe kedua yang
dilambangkan dengan Kmp2 yang dapat dihitung jika antara nilai
rerata dan median tidak terlalu besar, dengan rumus:
Koefisien
kemiringan Pearson dalam kurva simetris sempurna jika ukuran kemiringannya nol
(Kmp = 0), yakni rerata, median, dan modus berimpit. Nilai maksimun
ukuran kemiringan pearson adalah +3 dan minimum adalah –3.
Ø Ukuran
kemiringan Bowley
Ukuran
kemiringan dapat juga dinyatakan dalam bentuk kuartil. Ukuran kemiringan Bowley
menggunakan rentang antarkuartil sebagai pembagi rumus, untuk koefisien
kemiringan Bowley (Kmb) yang dapat dirumuskan:
Ukuran
kemiringan Bowley mempunyai nilai maksimum +1 dan minimum –1. Ukuran kemiringan
Bowley dapat digunakan apabila yang menjadi perhatian adalah ukuran lokasi.
Jadi, metode ini bermanfaat pada sebaran data berujung terbuka (open-end) atau bila ada nilai-nilai
ekstrem dalam data.
C. UKURAN
KECEMBUNGAN
Salah
satu ukuran kecembungan kurva adalah koefisien kecembungan (kurtosis) yang
dilambangkan dengan Kc dapat dirumuskan:
Bilamana
datanya dalam bentuk sebaran tunggal xi , i=1, 2, …, n. Jika data
dalam bentuk sebaran frekuensi, Kc, dapat dihitung dengan rumus:
Nilai
Kc = 3 menunjukkan sebaran mesokurtik (normal), nilai Kc > 3 mengindikasikan
sebaran leptokurtik (cembung), dan sebaran platikurtik (mendatar) yang ditandai
dengan Kc < 3.
Selain dengan koefisien kemiringan
kecembungan Kc, penggunaan kuartil dan persentil dapat juga
dilakukan dalam merumuskan koefisien kecembungan persentil yang dapat
dilambangkan dengan KKP yang dapat dirumuskan:
SOAL
LATIHAN
7. Tentukan
:
a. Koefisien
kemiringan Pearson tipe pertama;
b. Koefisien
kemiringan Pearson tipe kedua;
c. Koefisien
kemiringan Bowley;
d. Koefisien
kecembungan;
e. Koefisien
kecembungan persentil;
dari data gaji
bulanan pegawai perusahaan X berikut!
|
Gaji
(ribuan rupiah)
|
Banyaknya
pegawai
|
|
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
100-109
110-119
|
8
10
16
14
10
5
2
|
|
Jumlah
|
65
|
Penyelesaian
:
|
Gaji
(ribuan rupiah)
|
fi
|
xi
|
fk
|
fi.xi
|
(xi-
|
fi(xi-
|
(xi-
|
fi (xi-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
100-109
110-119
|
8
10
16
14
10
5
2
|
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
104.5
114.5
|
8
18
34
48
58
63
65
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Jumlah
|
65
|
-
|
-
|
5152,5
|
2991.47
|
15821,54
|
-
|
9151182
|
Modus terdapat pada
kelas 70 – 79, sehingga modusnya adalah
Median terletak pada
(50% x 65 = 32,5) yaitu kelas 70 – 79
Simpangan baku dari
tabel adalah :
Karena simpangan baku
(s), maka
Kuartil pertama
terletak pada (25% x 65 = 16,25) yaitu kelas 60 – 69
Kuartil ketiga terletak
pada (75% x 65 = 48,75 ) yaitu kelas 90-99
a. Koefisien
kemiringan Pearson tipe pertama
b. Koefisien
kemiringan Pearson tipe kedua
c. Koefisien
kemiringan Bowley
d. Koefisien
kecembungan
e. Koefisien
kecembungan persentil tidak ada. Hal ini data yang tersedia adalah 65,
sedangkan untuk mencari persentil dibutuhkan data minimal sebanyak 100.
8. Diberikan
data : 4, 4, 5, 6, 3, 8, 10, 3, 2. Hitunglah :
a. Koefisien
kemiringan Pearson tipe pertama dan kedua;
b. Koefisien
kemiringan Bowley;
c. Koefisien
kecembungan;
d. Koefisien
kecembungan persentil;
Penyelesaian :
|
x
|
fi
|
fi.
x
|
fi(x-
|
fi(x-
|
|
2
3
4
5
6
8
10
|
1
2
2
1
1
1
1
|
2
6
8
5
6
8
10
|
9
4
2
0
1
9
25
|
81
16
2
0
1
81
625
|
|
Jumlah
|
9
|
45
|
54
|
822
|
Modus dalam data
ada dua, yaitu 3 dan 4
Median terletak
pada data ke-5 yaitu 4
Kuartil pertama
terletak pada data ke-2 + 0,5(data ke-3 – data ke-2)
K1 =
3 + 0,5 (3 – 3) = 3 + 0 = 3
Kuartil ketiga
terletak pada data ke-7 + 0,5(data ke-8 – data ke-7)
K3 =
6 + 0,5 (8 – 6) = 6 + 0,5 x 2 = 6 + 1 = 7
Karena simpangan
baku (s) maka
a. Koefisien
kemiringan Pearson tipe pertama dan kedua
Karena
modus ada dua, maka koefisien kemiringan Pearson tipe pertama ada dua!!
Untuk
modus = 3
Untuk
modus = 4
Koefisien
kemiringan tipe kedua adalah
b. Koefisien
kemiringan Bowley
c. Koefisien
kecembungan
d. Koefisien
kecembungan persentil
Koefisien
kecembungan persentil tidak ada. Hal ini data yang tersedia adalah 65,
sedangkan untuk mencari persentil dibutuhkan data minimal sebanyak 100.
9. Diberikan
data : 2, 9, 8, 7, 9, 5, 3, 6, 9, 6. Hitunglah :
a. Koefisien
kemiringan Pearson tipe pertama dan tipe kedua
b. Koefisien
kemiringan Bowley
c. Koefisien
kecembungan
Jawab :
|
x
|
|
|
|
|
||
|
2
|
1
|
2
|
19.36
|
374.8096
|
||
|
3
|
1
|
3
|
11.56
|
133.6336
|
||
|
5
|
1
|
5
|
1.96
|
3.8416
|
||
|
6
|
2
|
12
|
0.32
|
0.0512
|
||
|
7
|
1
|
7
|
0.36
|
0.1296
|
||
|
8
|
1
|
8
|
2.56
|
6.5536
|
||
|
9
|
3
|
27
|
20.28
|
137.0928
|
||
|
Jumlah
|
10
|
64
|
|
|
Modus adalah 9
Median terletak
pada data ke-5 + 0,5(data ke-6 – data ke-5)
Me = 6 + 0,5 (7
– 6) = 6 + 0,5 = 6,5
Kuartil pertama
terletak pada data ke-2 + 0,75(data ke-3 – data ke-2)
K1 = 3
+ 0,75 (5 – 3) = 3 + 1,5 = 4,5
Kuartil ketiga
terletak pada data ke-8 + 0,25(data ke-9 – data ke-8)
K3 = 9
+ 0,25(9 – 9) = 9
Karena simpangan
baku (s) maka
a. Koefisien
kemiringan Pearson tipe pertama dan kedua
Koefisien
kemiringan tipe kedua adalah
b. Koefisien
kemiringan Bowley
c. Koefisien
kecembungan
1 komentar:
tau palopo pale
Posting Komentar