Subscribe:

Ads 468x60px

Kamis, 18 Oktober 2012

contoh Makalah sTamatt

BAB I
PENDAHULUAN
A.    LATAR BELAKANG
Upaya para ilmuan untuk menyikap misteri alam semesta sampai sekarang ternyata belum pernah mencapai kepastian mutlak dalam pemahaman perilaku alam seperti yang diimpi-impikannya. Kepastianlah relatiflah yang biasanya dicapai, sehingga kenyataan ini menyadarkan para ilmuan bahwa ilmu bukanlah segala-galanya dan ilmu tidak statis sifatnya. Dalam hal ini, statistika mempunyai tugas untuk memperhitungkan kemungkinan berulangnya kembali serangkaian peristiwa tertentu. Dalam hal ini, jelas bahwa tugas statistika berkaitan dengan peristiwa-peristiwa lampau, dan peluang terjadinya peristiwa-peristiwa di masa depan sesuai asumsi atau keyakinan yang berlaku di waktu lampau dan masa kini.
Kata statistika berasal dari bahasa Latin status, yang berarti keadaan kelompok. Makna statistika yang lebih mutakhir dimaksudkan sebagai cara-cara ilmiah untuk mengumpulkan, mengorganisasikan, menyajikan, dan menganalisis data, serta menarik kesimpulan sahih dan mengambil keputusan layak berdasarkan analisis yang dilakukan.

Dalam statistika dikenal istilah ukuran kemiringan dan kecembungan. Banyak mahasiswa yang biasa bertanya: Untuk apa kita menghitung koefisien kemiringan dan koefisien kecembungan? Pertanyaan ini wajar saja muncul karena kebanyakan pelajaran statistika diberikan dalam bentuk menurunkan rumus dan menghitung statistik tanpa dijelaskan kegunaan dan manfaat yang dihitung itu.
Mengetahui bentuk sebaran kemampuan siswa atau mahasiswa sebelum melalui proses belajar sangat penting bagi seorang guru atau dosen. Bentuk sebaran itu sendiri dapat diketahui dengan bantuan koefisien kemiringan (skewness) dan koefisien kecembungan  (kurtosis) yang perhitungannya sangat sederhana, yakni hanya dengan menggunakan kalkulator untuk data yang tidak terlalu banyak. Namun dengan bantuan komputer akan bermanfaat untuk menghindari kesalahan perhitungan dan mempercepat proses perhitungan.
Koefisien kemiringan dan kecembungan dapat digunakan dalam bidang-bidang lain selain bidang pendidikan. Untuk hal serupa pula dalam bidang industri dan bisnis, kedua koefisien itu dapat digunakan untuk melihat sebaran penjumlahan barang-barang tertentu menurut waktu, lokasi, jenis barang, cara penyaluran, dan sebagainya.
Selain pemahaman terhadap rumus, syarat dan tujuan penggunaan ukuran statistik, contoh-contoh nyata dalam kehidupan sehari-hari akan membantu pengembangan pengguna statistika. Banyak penggunaan statistika dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari yang sangat sederhana sampai pada yang rumit dan kompleks.
Oleh karena itu, dengan adanya makalah ini diharapkan para pembaca dapat memahami dan mengerti tentang koefisien kemiringan (skewness) dan koefisien kecembungan  (kurtosis).

B.     RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang tersebut didapatkan masalah-masalah, yaitu :
1.      Menjelaskan bagaimana model populasi?
2.      Menjelaskan bagaimana koefisien kemiringan?
3.      Menjelaskan bagaimana koefisien kecembungan? 

C.     TUJUAN
Berdasarkan rumusan masalah didapatkan tujuan, yaitu :
1.      Mahasiswa dapat menjelaskan bagaimana moldel populasi.
2.      Mahasiswa dapat menjelaskan bagaimana koefisien kemiringan.
3.      Mahasiswa dapat menjelaskan bagaimana koefisien kecembungan.


BAB II
ISI
A.    MODEL POPULASI
Untuk mendapatkan gambaran tentang sebaran data, tabel sebaran frekuensi, histogram, atau poligon frekuensi merupakan alat bantu yang sering digunakan. Jika semua data dalam populasi dapat dikumpulkan lalu digambarkan daftar sebaran frekuensinya dan akhirnya digambarkan kurva frekuensi maka kurva ini dapat menjelaskan sifat atau ciri dari populasi. Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri populasi atau sampel representatif yang diambil dari populasi.
Untuk keperluan teori dan metode yang lebih lanjut, model populasi dapat dituangkan dalam bentuk persamaan matematis. Jadi, model dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk, tergantung aspek mana yang menjadi perhatian.
Bentuk kurva yang dijadikan model populasi dan sering digunakan adalah ;
1.      Model normal yang sebenarnya lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematisnya. Bentuk model normal selalu simetris dan mempunyai sebuah puncak (unimodal). Kurva normal selalu simetris, tetapi tidak terlalu cembung atau terlalu mendatar.

2.      Model simetris yang mempunyai satu puncak (unimodal). Pada model normal, kurva akan selalu simetris, tetapi belum pasti jika suatu model simetris maka kurva normal.
Model simetris ini dibedakan atas dua yaitu:
a.       Model simetris yang cembung
b.      Model simetris yang mendatar
3.      Model positif menggambarkan suatu kejadian yang memiliki sedikit gejala yang bernilai semakin besar.
4.      Model negatif merupakan kebalikan dengan  model positif. Model negatif menggambarkan suatu kejadian yang menunjukkan bahwa terdapat sedikit gejala yang bernilai semakin kecil.
5.      Model J yang banyak digunakan dalam bidang ekonomi, industri, dan fisika. Kurva model J ini dapat dibedakan atas:
a.       Kurva model J yang menggambarkan data yang cenderung menanjak secara drastis.
b.      Kurva model J terbalik yang menggambarkan kebalikan dari model J, yaitu dari data yang sangat tinggi, turun secara drastis, kemudian sedikit demi sedikit mulai menanjak secara perlahan.
6.      Bentuk U yang menggambarkan terdapat banyak gejala bernilai kecil, kemudian menurun sementara untuk gejala yang bernilai besar, dan akhirnya menaik lagi untuk nilai yang semakin besar.


B.     KOEFISIEN KEMIRINGAN
Dalam kasus kurva frekuensi populasi, baik yang model postif maupun model negatif terjadi ketidaksimetrisan. Untuk mengetahui derajat ketidaksimetrisan sebuah model populasi digunakan ukuran kemiringan.
Ada dua macam kemiringan yang dapat digunakan yaitu ;
Ø  Ukuran kemiringan Pearson
Karl Pearson mengembangkan ukuran kemiringan yang disebut ukuran kemiringan Pearson (Pearson’s measure of skewness). Ukuran ini memberitahukan arah dan tingkat kemiringan sebaran data. Dalam ukuran kemiringan Pearson akan melibatkan rerata, median, dan modus.
Rumus empiris dari Pearson adalah “Jarak antara rerata dan modus dalam sebaran yang kemiringannya moderat adalah tiga kali jarak antara rerata dan median.”
Jadi, semakin jauh nilai rerata dari modus, semakin tidak simetris atau semakin miring sebaran data. Jarak antara rerata dan modus merupakan dasar untuk ukuran kemiringan yang digunakan oleh Pearson.
Untuk mendapatkan koefisien kemiringan Pearson, maka akan digunakan jarak antara rerata dan modus, serta simpangan baku. Koefisien  kemiringan Pearson tipe kesatu atau dilambangkan dengan Kmp1 dihitung dengan rumus;

Dengan rumus empiris yang telah dikemukakan Pearson bahwa:
Sehingga dari hubungan diatas diperoleh koefisien kemiringan Pearson tipe kedua yang dilambangkan dengan Kmp2 yang dapat dihitung dengan rumus;
Koefisien tipe kedua ini dapat digunakan jika antara nilai rerata dan median tidak terlalu besar.
Koefisien kemiringan Pearson dalam kurva simetris sempurna jika ukuran kemiringannya nol (Kmp = 0), yakni rerata, median, dan modus berimpit.
Jika kurva sebaran miring ke kiri (ekor panjang ke kanan) maka koefisien kemiringan positif karena nilai rerata akan lebih besar daripada nilai median dan nilai median lebih besar daripada nilai modus.
Jika kurva sebaran miring ke kanan (ekor panjang ke kiri) maka koefisien kemiringan negatif karena nilai modus lebih besar daripada nilai median dan nilai median lebih besar daripada nilai rerata.
Dasar pengukuran kemiringan Pearson secara skematik akan ditunjukkan dalam kurva model populasi. Dalam kurva terlihat bahwa untuk menaksir ukuran gejala pusat pada populasi yang tidak simetris, median merupakan statistik yang lebih stabil dibandingkan dengan rerata. Hal ini dikarenakan nilai ekstrem yang terdapat dalam data sangat mempengaruhi nilai rerata, sedangkan nilai median tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.
Sebagai deskripsi dari sebaran data, interpretasi koefisien kemiringan Pearson menyatakan sabaran agak miring (slight skewness), atau miring (moderate skewness), atau sangat miring (marked skewness). Nilai maksimun ukuran kemiringan pearson adalah +3 dan minimum adalah –3.

Contoh
Misalnya, nilai ujian Statistika Dasar dari 100 mahasiswa dapat diketahui nilai rerata 80, median 83, modus 85, dan simpangan baku 12,5. Tentukan koefisien kemiringan Pearson tipe kesatu dan kedua, serta penjelasannya!
            Penyelesaian :
Diberikan  
Maka :
Karena koefisien kemiringan Pearson bernilai negatif maka dapat ditentukan jika model populasi agak miring ke kanan. Hal ini berarti ujian Statistika Dasar tidak terlalu sulit karena nilai reratanya cukup tinggi yaitu 80.
Dapat juga menggunakan koefisien kemiringan Pearson tipe kedua karena perbedaan nilai rerata (80) dan median (83) tidak terlalu besar, yaitu:
Hasil dari koefisien kemiringan Pearson tipe kedua juga memberikan hasil negatif yang berarti kemiringannya juga negatif.

Ø  Ukuran kemiringan Bowley
Ukuran kemiringan dapat juga dinyatakan dalam bentuk kuartil. Dalam sebaran simetris, K1 dan K3 mempunyai jarak yang sama dari median.
Jika K1 lebih jauh dari median dibandingkan dengan K3, maka kemiringan yang akan diperoleh adalah kemiringan negatif. Dan sebaliknya jika K1 lebih dekat dari median dibandingkan dengan K3 maka kemiringan yang akan diperoleh adalah kemiringan positif.
Karena dalam model simetris tidak ada perbedaan jarak antara K1 dan K3 dari median, inilah yang menjadi dasar pengukuran dalam mengukur kemiringan dalam model yang tidak simetris.
Ukuran kemiringan Bowley menggunakan rentang antarkuartil sebagai pembagi rumus, untuk koefisien kemiringan Bowley (Kmb) yang dapat dirumuskan:
Ukuran kemiringan Bowley mempunyai nilai maksimum +1 dan minimum –1. Ukuran kemiringan Bowley dapat digunakan apabila yang menjadi perhatian adalah ukuran lokasi. Jadi, metode ini bermanfaat pada sebaran data berujung terbuka (open-end) atau bila ada nilai-nilai ekstrem dalam data.

            Contoh :
Upah rerata per jam dari 94 pegawai pada salah satu perusahaan pabrik, diketahui memiliki K1 = Rp 5.700,00 dan K3 = Rp 7.300,00, serta median Rp 6.450,00. Tentukan ukuran kemiringan Bowley dan tentukan bagaimana bentuk grafiknya?

Penyelesaian:
Karena nilai Kmb adalah 0,0625 dan grafiknya adalah model normal yang dapat digambarkan seperti di bawah ini.
K1
Me
K3

C.     KOEFISIEN KECEMBUNGAN
Dengan titik tolak dari kurva model normal atau sebaran normal, kecembungan, yakni tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva dapat ditentukan. Kurva sebaran normal yang tidak terlalu runcing (tidak terlalu mendatar) disebut mesokurtik, sedangkan kurva yang runcing disebut leptokurtik, dan kurva yang datar disebut platikurtik.
Salah satu ukuran kecembungan kurva adalah koefisien kecembungan (kurtosis) yang dilambangkan dengan Kc dapat dirumuskan:
Bilamana datanya dalam bentuk sebaran tunggal xi , i=1, 2, …, n. Jika data dalam bentuk sebaran frekuensi, Kc, dapat dihitung dengan rumus:
Nilai Kc = 3 menunjukkan sebaran mesokurtik (normal), nilai Kc > 3 mengindikasikan sebaran leptokurtik (cembung), dan sebaran platikurtik (mendatar) yang ditandai dengan Kc < 3.

Contoh :
Hitung koefisien kecembungan data dalam bentuk sebaran frekuensi tentang upah per jam 94 pegawai seperti dalam tabel.
Kelas
fi
xi
fi (xi-
fi (xi-
5,0-5,9
32
5,45
38,72
46,8512
6,0-6,9
30
6,45
0,30
0,0030
7,0-7,9
25
7,45
20,25
16,4025
8,0-8,9
5
8,45
18,05
65,1605
9,0-9,9
2
9,45
16,82
141,4562
Jumlah
94
-
94,14
269,8734

Penyelesaian:
Karena koefisien kecembungan, Kc < 3, maka kurvanya agak mendatar (platikurtik). Tetapi karena nilai Kc hampir mendekati nilai 3, maka pendekatan normal dapat digunakan.
Selain dengan koefisien kemiringan kecembungan Kc, penggunaan kuartil dan persentil dapat juga dilakukan dalam merumuskan koefisien kecembungan persentil yang dapat dilambangkan dengan KKP yang dapat dirumuskan:
Dengan menggunakan rumus KKP ini dapat dilihat bahwa nilai pembilangnya ditentukan oleh 50% data yang berada di tengah dan nilai penyebutnya ditentukan oleh 80% data di tengah. Jadi, pengaruh nilai-nilai ekstrem ditiadakan dengan menggunakan rumus ini.
Untuk menentukan model populasi, berbeda halnya dengan koefisien kecembungan persentil, KKP untuk kurva normal adalah 0,263.



BAB III
SIMPULAN
A.    MODEL POPULASI
Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri populasi atau sampel representatif yang diambil dari populasi. Bentuk kurva yang dijadikan model populasi dan sering digunakan adalah ;
1.      Model normal

2.      Model simetris
a.       Model simetris yang cembung
b.      Model simetris yang mendatar
3.      Model positif
4.      Model negatif
5.      Model J yang banyak digunakan dalam bidang ekonomi, industri, dan fisika. Kurva model J ini dapat dibedakan atas:
a.       Kurva model J
b.      Kurva model J terbalik
6.      Bentuk U

B.     UKURAN KEMIRINGAN
Dalam kasus kurva frekuensi populasi, baik yang model postif maupun model negatif terjadi ketidaksimetrisan. Untuk mengetahui derajat ketidaksimetrisan sebuah model populasi digunakan ukuran kemiringan.
Ada dua macam kemiringan yang dapat digunakan yaitu ;
Ø  Ukuran kemiringan Pearson
Dalam ukuran kemiringan Pearson akan melibatkan rerata, median, dan modus. Rumus empiris dari Pearson adalah “Jarak antara rerata dan modus dalam sebaran yang kemiringannya moderat adalah tiga kali jarak antara rerata dan median.”
Koefisien  kemiringan Pearson tipe kesatu atau dilambangkan dengan Kmp1 dihitung dengan rumus;
Sedangkan, koefisien kemiringan Pearson tipe kedua yang dilambangkan dengan Kmp2 yang dapat dihitung jika antara nilai rerata dan median tidak terlalu besar, dengan rumus:
Koefisien kemiringan Pearson dalam kurva simetris sempurna jika ukuran kemiringannya nol (Kmp = 0), yakni rerata, median, dan modus berimpit. Nilai maksimun ukuran kemiringan pearson adalah +3 dan minimum adalah –3.

Ø  Ukuran kemiringan Bowley
Ukuran kemiringan dapat juga dinyatakan dalam bentuk kuartil. Ukuran kemiringan Bowley menggunakan rentang antarkuartil sebagai pembagi rumus, untuk koefisien kemiringan Bowley (Kmb) yang dapat dirumuskan:
Ukuran kemiringan Bowley mempunyai nilai maksimum +1 dan minimum –1. Ukuran kemiringan Bowley dapat digunakan apabila yang menjadi perhatian adalah ukuran lokasi. Jadi, metode ini bermanfaat pada sebaran data berujung terbuka (open-end) atau bila ada nilai-nilai ekstrem dalam data.



C.     UKURAN KECEMBUNGAN
Salah satu ukuran kecembungan kurva adalah koefisien kecembungan (kurtosis) yang dilambangkan dengan Kc dapat dirumuskan:
Bilamana datanya dalam bentuk sebaran tunggal xi , i=1, 2, …, n. Jika data dalam bentuk sebaran frekuensi, Kc, dapat dihitung dengan rumus:
Nilai Kc = 3 menunjukkan sebaran mesokurtik (normal), nilai Kc > 3 mengindikasikan sebaran leptokurtik (cembung), dan sebaran platikurtik (mendatar) yang ditandai dengan Kc < 3.
Selain dengan koefisien kemiringan kecembungan Kc, penggunaan kuartil dan persentil dapat juga dilakukan dalam merumuskan koefisien kecembungan persentil yang dapat dilambangkan dengan KKP yang dapat dirumuskan:




SOAL LATIHAN

7.      Tentukan :
a.       Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama;
b.      Koefisien kemiringan Pearson tipe kedua;
c.       Koefisien kemiringan Bowley;
d.      Koefisien kecembungan;
e.       Koefisien kecembungan persentil;
dari data gaji bulanan pegawai perusahaan X berikut!
Gaji (ribuan rupiah)
Banyaknya pegawai
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
100-109
110-119
8
10
16
14
10
5
2
Jumlah
65

Penyelesaian :
Gaji (ribuan rupiah)
fi
xi
fk
fi.xi
(xi-
fi(xi-
(xi-
fi (xi-
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
100-109
110-119
8
10
16
14
10
5
2
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
104.5
114.5
8
18
34
48
58
63
65
436
645
1192
1183
945
522,5
229
613.5529
218.1529
22.7529
27.3529
231.9529
636.5529
1241.153
4908,423
2181,529
364,0464
382,9406
2319,529
3182,765
2482.306
376447,2
47590,69
517,6945
748,1811
53802,15
405199,6
1540461
3011577
475906,9
8283,111
10474,54
538021,5
2025998
3080921
Jumlah
65
-
-
5152,5
2991.47
15821,54
-           
9151182


Modus terdapat pada kelas 70 – 79, sehingga modusnya adalah

Median terletak pada (50% x 65 = 32,5) yaitu kelas 70 – 79

Simpangan baku dari tabel adalah :
Karena simpangan baku (s), maka

Kuartil pertama terletak pada (25% x 65 = 16,25) yaitu kelas 60 – 69

Kuartil ketiga terletak pada (75% x 65 = 48,75 ) yaitu kelas 90-99




a.       Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama

b.      Koefisien kemiringan Pearson tipe kedua

c.       Koefisien kemiringan Bowley

d.      Koefisien kecembungan

e.       Koefisien kecembungan persentil tidak ada. Hal ini data yang tersedia adalah 65, sedangkan untuk mencari persentil dibutuhkan data minimal sebanyak 100.




8.      Diberikan data : 4, 4, 5, 6, 3, 8, 10, 3, 2. Hitunglah :
a.       Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan kedua;
b.      Koefisien kemiringan Bowley;
c.       Koefisien kecembungan;
d.      Koefisien kecembungan persentil;

Penyelesaian :
x
fi
fi. x
fi(x-
fi(x-
2
3
4
5
6
8
10
1
2
2
1
1
1
1
2
6
8
5
6
8
10
9
4
2
0
1
9
25
81
16
2
0
1
81
625
Jumlah
9
45
54
822


Modus dalam data ada dua, yaitu 3 dan 4

Median terletak pada data ke-5 yaitu 4

Kuartil pertama terletak pada data ke-2 + 0,5(data ke-3 – data ke-2)
K1 = 3 + 0,5 (3 – 3) = 3 + 0 = 3

Kuartil ketiga terletak pada data ke-7 + 0,5(data ke-8 – data ke-7)
K3 = 6 + 0,5 (8 – 6) = 6 + 0,5 x 2 = 6 + 1 = 7

Karena simpangan baku (s) maka

a.       Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan kedua
Karena modus ada dua, maka koefisien kemiringan Pearson tipe pertama ada dua!!
Untuk modus = 3
Untuk modus = 4

Koefisien kemiringan tipe kedua adalah

b.      Koefisien kemiringan Bowley

c.       Koefisien kecembungan

d.      Koefisien kecembungan persentil
Koefisien kecembungan persentil tidak ada. Hal ini data yang tersedia adalah 65, sedangkan untuk mencari persentil dibutuhkan data minimal sebanyak 100.

9.      Diberikan data : 2, 9, 8, 7, 9, 5, 3, 6, 9, 6. Hitunglah :
a.       Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan tipe kedua
b.      Koefisien kemiringan Bowley
c.       Koefisien kecembungan
Jawab :
x
2
1
2
19.36
374.8096
3
1
3
11.56
133.6336
5
1
5
1.96
3.8416
6
2
12
0.32
0.0512
7
1
7
0.36
0.1296
8
1
8
2.56
6.5536
9
3
27
20.28
137.0928
Jumlah
10
64
56.4
656.112

Modus adalah 9

Median terletak pada data ke-5 + 0,5(data ke-6 – data ke-5)
Me = 6 + 0,5 (7 – 6) = 6 + 0,5 = 6,5

Kuartil pertama terletak pada data ke-2 + 0,75(data ke-3 – data ke-2)
K1 = 3 + 0,75 (5 – 3) = 3 + 1,5 = 4,5

Kuartil ketiga terletak pada data ke-8 + 0,25(data ke-9 – data ke-8)
K3 = 9 + 0,25(9 – 9) = 9

Karena simpangan baku (s) maka

a.       Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan kedua

Koefisien kemiringan tipe kedua adalah

b.      Koefisien kemiringan Bowley

c.       Koefisien kecembungan

0 komentar:

Posting Komentar

Get Free Music at www.divine-music.info
Get Free Music at www.divine-music.info

Free Music at divine-music.info